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[기타] 아리스토텔레스의 바퀴의 역설
글쓴이 : 芝枰 날짜 : 2021-09-30 (목) 04:09 조회 : 163
바퀴의 역설이 무엇인지 일단 영상에 나와있다.

안쪽의 바퀴의 둘레의 길이는 바깥쪽 바퀴의 둘레의 길이보다 분명히 작다. 그런데 저 두 바퀴를 같이 굴려보면 정확하게 같은 점에서 시작하여 같은 점에 동시에 도달한다. 각 바퀴의 둘레의 길이는 분명히 다른데 왜 눈으로는 마치 같은 것처럼 보이는 걸까?

호주 유튜버의 설명은 작은 바퀴가 미끄러지기 때문이라고 주장한다. 한국 유튜버의 설명은 작은 바퀴가 무한 점프를 하기 때문이라고 설명한다. 그러고는 댓글에 무한한 점프는 곧 미끄러짐이라고 봐도 무방하다는 애매한 말을 적어놓았다.

일단 두 바퀴의 둘레의 길이가 다르다는 것을 증명하는 것은 간단하다. 각각의 바퀴를 따로 떼어내어 둘레에 잉크를 묻혀서 굴린 다음 잉크에 의해 그려진 선분의 길이를 비교해 보면 된다. 또는 각각의 바퀴의 둘레는 실로 재서 비교해봐도 된다. 어떻게 하든 안쪽 바퀴의 둘레의 길이가 바깥쪽 바퀴의 둘레의 길이보다 작다는 것은 분명하다.

문제는 두 바퀴를 연동 고정해서 동시에 굴렸을 때 나타난다. 어떤 사람은 미끄러짐이라 설명하고 어떤 사람은 점프라고 설명한다. 하지만 점프는 미끄러짐과는 분명히 다른 움직이다. 점프는 갭이 있다는 것이고 미끄러짐은 갭이 없다는 것이다. 엄연히 다른 현상이다. 수학자가 모호한 주장을 펼친다는 것은 좀 받아들이기 힘들다.

미끄러짐이냐 점프냐를 분간할 수 있는 방법이 있다. 그런데 대충 생각을 해봐도 점프라고 보기는 어렵다. 원은 무한 각형의 도형이라고 하지만 사실상 각이 없기 때문에 눈에 보이지 않더라도 점프가 가능하다고 보여지지는 않는다. 안쪽의 바퀴는 한 순간도 지면과 떨어져 있지 않기 때문이다.

어째든 이걸 구분하기 위해서는 물리적인 실험이 필요하다. 수학문제를 물리적인 실험으로 증명한다고 잘못된 것은 아니다. 실험 방법은 다양한데 그 중 몇 가지를 적어보자.

1. 안쪽 바퀴의 미끄러짐 현상이라면 바퀴의 둘레와 지면이 마찰을 일으키게 된다. 따라서 마찰열이 발생할 것이다. 많은 실험을 통해 마찰열을 감지해 낼 수 있다면 미끄러짐 현상이라고 결론을 내릴 수 있을 것이다.

실험의 횟수가 많아지면 접촉면 때문에 열이 발생하는 것은 어쩔 수 없다. 하지만 미끄러짐에 의한 마찰열과는 분명히 온도차가 있다. 이걸 구분하기 위해서 동일한 크기와 재질의 안쪽 바퀴를 만들어 개별로 굴려서 그것에서 발생하는 바퀴 둘레의 열과 비교해보면 그 차이를 알 수 있을 것이다.

미끄러짐 현상을 확실하게 관찰하기 위해서는 바깥쪽 바퀴와 안쪽 바퀴의 크기의 차이를 크게하면 된다. 크게 할 수록 현상은 두드러진다.

2. 안쪽 바퀴 둘레에 얇은 바늘을 꽂아 놓고 굴린다. 바늘의 길이는 일정해야 한다. 바퀴를 굴렸을 때 바늘의 긁힘이 발생하는지 확인해보면 된다. 긁힘이 발생한다면 미끄러짐 현상이 분명하다는 증거가 된다.

이런식으로 정밀 실험을 한다면 안쪽 바퀴가 미끄러지는 것인지 점프를 하는 것인지 답을 내릴 수 있을 것이다.


芝枰 2021-09-30 (목) 04:20
호주 유튜버 생각
When we put Galileo and Roberval's conclusions together, we get only one possible answer. The inner circle must be slipping. Unlike the hexagon and the octagon the inner circle is not skipping as it never leaves the surface. So, the only possibility is that it's getting dragged along with the outer circle.

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芝枰 2021-09-30 (목) 04:31
한국 유튜버의 무한 점프는 잘못된 생각이다. 원의 둘레는 실수로 이루어진 선분으로 표현할 수 있다. 실수에는 빈틈이 없다. 점프가 이루어지는 공간이 없다는 말이다. 만약 안쪽 바퀴가 무한 점프를 한다면 실수에 구멍이 무한히 있다는 말이 된다. 이는 실수 체계를 망가뜨리는 주장이다.

유한과 무한은 엄연히 다르다. 삼각형 사각형 오각형 육각형.. 등등은 유한 각형이다. 이는 원의 무한 각형과는 다르다. 유한 각형은 자연수의 무한으로 대체해서 생각할 수 있지만 원의 무한 각형은 실수로 대체해서 생각할 수 있다. 자연수의 농도와 실수의 농도는 엄연히 다르다.

즉, 무한 점프는 발생하지 않고 미끄러짐이 발생한다고 밖에는 설명할 수 없다.

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