차원에 관해 누구나 쉽게 유추할 수 있는 부분이 있다.

3차원의 그림자는 2차원,

2차원의 그림자는 1차원,

1차원의 그림자는 점

으로 시각화가 가능하다는 것이다. 그렇다면 4차원의 그림자는 3차원으로 시각화가 가능해야 한다. 그것을 가능하게 해주는 방법이 양파껍질 구조다. 4차원은 3차원을 둘러싼 면으로 이해할 수 있다. 4차원의 태양은 3차원을 둘러싸고 있기 때문에 마치 양파의 가장 바깥 껍질이 광원이 되어 그 안의 껍질의 전체를 비추는 것과 같다. 그렇게 되면 내부에 3차원의 그림자 또는 홀로그램이 생성될 수 있다. 그 이상의 차원은 양파껍질이 계속 중첩되는 것으로 표현이 가능하다. n차원은 무한겹의 양파껍질 형태로 표현 가능하다.

이것을 좀 더 현실적인 좌표계로 보자.

1차원은 직선. 1개의 축. x

2차원은 평면. 2개의 축. xy

3차원은 공간. 3개의 축. xyz

4차원은 썸띵. 4개의 축. xyzw

차원의 단면이란 하위차원을 의미한다. 각 차원의 단면을 여러 개의 하위차원의 좌표계로 나타낼 수 있다. 즉, 하위차원의 좌표계로 시각화가 가능하다. 여기서 하위 차원이란 1 ~ n-1 차원을 의미한다. 하위차원으로 표현가능한 가지수는 (r: 1 ~ n-1), ∑nCr (콤비네이션) 개이다.

3차원은 축이 3개다. (xyz) 이것은 하위 차원 2가지로 표현 가능하다. 2차원 평면과 1차원 축.

2차원 평면: xy 평면, xz 평면, yz 평면

1차원 축  : x 축, y 축, z 축

여기서 1차원 축은 각 x, y, z 막대를 나란히 세워놓은 모양이다. 그러면 파형이 움직이는 것처럼 표현이 가능하다.

4차원은 축이 4개다. (xyzw) 이것은 하위 차원 3가지로 표현 가능하다. 3차원 공간과, 2차원 평면과 1차원 축.

3차원 공간: xyz 공간, xyw 공간, xzw 공간, yzw 공간

2차원 평면: xy 평면, xz 평면, xw 평면, yz 평면, yw 평면, zw 평편

1차원 축  : x 축, y 축, z 축, w 축

여기서 1차원 축도 마찬가지로, x, y, z, w 막대를 나란히 세워놓은 모양이다. 역시 파형이 움직이는 것처럼 표현이 가능하다.

굳이 4차원을 원형 그대로 3차원에 표현해야 할 필요는 없는 것이다. 그것의 하위차원은 충분히 시각화가 가능하다.

그리고 그 이상의 차원에 대해서는 1차원 축을 나란히 세워놓아 마치 파형이 나타나는 형태로 표현할 수 있다.

하나의 축이 -∞, ..., 0, ... ,∞ 로 이루어진다고 했을 때 모든 축이 원점(0)에서 만난다고 가정을 해보자. 4차원 이상의 모든 축을 직각으로 시각화하는 것은 현실적으로 가능하지 않다.

그런데 각 축이 반드시 직각을 이루어야 한다는 법이 있나? 좌표계는 법칙이 아니라 선택의 문제다. 4차원 이상을 시각화 했을 때 각 축들이 굳이 직각이어야 한다는 생각을 버리면, 각 축이 이루는 각이 어떤 곡률을 가진다고 가정하고 좌표계를 만들 수 있지 않을까?

이상 n 차원 공간에 대한 시각화를 생각해보았다.