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[기타] 클라인 병(Klein Bottle)
글쓴이 : 芝枰 날짜 : 2022-10-25 (화) 00:55 조회 : 196
뫼비우스 띠는 3차원에서 쉽게 구현 가능하다. 하지만 2차원 사람들이라면 뫼비우스띠를 이해하지 못 할 것이다. 클라인 병은 뫼비우스띠를 한 차원 높여서 구현한 것이다. 3차원에 살고 있는 인간의 뇌로는 도저히 형상화 할 수 없는 도형이다. 그럼에도 그러한 개념을 생각해낸 인간의 뇌도 대단하다.

한참 오래 전에 꿈을 꾼 적이 있는데 꿈에서 2각형을 본 것이다. 꿈에서 2각형을 봤다고 분명하게 인식했다. 꿈 속에서는 전혀 이상하지가 않았다. 그런데 꿈을 깨고 나서는 2각형의 형상이 기억나지 않았다. 폐곡선의 양쪽을 뾰족하게 만든 그런 모양은 아니었다.

어쩌면 클라인 병을 간절하게 3차원 현실에서 구현해보고자 애쓴 사람이 있다면 꿈에서나마 그 실체를 완벽하게 봤다고 느낄 수 있을 정도로 실감나게 꿈을 꿀 수도 있을 것이다.


芝枰 2022-11-27 (일) 04:04
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芝枰 2022-11-30 (수) 07:12
클라인병을 3차원에서 경험할 수 있는 방법을 찾았다.

뫼비우스 띠는 한쪽 면만 계속 따라가다 보면 반대쪽 면으로 이어지고, 계속 가다보면 원래의 자리로 되돌아 온다. 그러기 위해서는 3차원에 뫼비우스 띠가 구현되어야 한다. 2차원의 띠를 한번 비틀어야 하기 때문에 1차원이 더 필요한 것이다.

뫼비우스 띠를 입체적으로 구현한 것이 클라인병이다. 그런데 이것을 제대로 구현하기 위해서는 4차원 공간이 있어야 한다. 클라인병의 한 면을 따라 계속 가다보면 다른 면으로 나와야 하는데 동영상에 나온 대로라면 나올 수가 없다. 3차원 현실에서는 구현이 불가능해 보인다.

우리는 3차원에 있다. 즉, 2차원의 띠를 가지고 3차원에서 뫼비우스 띠를 쉽게 구현할 수 있다. 하지만 클라인병을 구현하려면 하나의 차원이 더 필요하다. 우리가 있는 3차원 공간에서는 하나의 축을 더 해서 4차원을 구현할 수가 없다.

클라인병 위에 개미 한 마리가 있다고 하자. 개미가 한 방향으로 계속 움직이면 겹쳐진(꼬이는) 부분으로 나와야 하는데 동영상에 그려진 클라인병의 형태로는 개미가 나올 수 있는 길이 없다. 즉, 3차원에서는 클라인병이 구현되지 않는 것처럼 보인다.

하지만 방법이 하나 있다. 우리는 3차원 공간에서도 클라인병을 경험할 수 있다는 얘기다. 즉, 하나의 차원을 만들어줄 수 있다는 것이다. 하나의 차원을 만들어준다는 것은 한 면에서 다른 편으로 갈 수 있는 길을 만들 수 있다는 의미다.

찰흙 같은 걸로 만들어 볼 수도 있지만, 3D 프린트 업체를 알아봐야겠다. 만들게 되면 나중에 공개하겠다. 상상은 현실이 될 수 있다.

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芝枰 2022-12-17 (토) 18:47
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芝枰 2022-12-17 (토) 19:00
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